Числа бывают целые и. Числа: натуральные, целые, рациональные, действительные. Обыкновенные и десятичные дроби. Использование целых чисел при описании изменения величин
Это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3... и т.д.
Ноль не является натуральным.
Натуральные числа принято обозначать символом N .
Целые числа. Положительные и отрицательные числа
Два числа отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными , например, +1 и -1, +5 и -5. Знак "+" обычно не пишут, но предполагают, что перед числом стоит "+". Такие числа называются положительными . Числа, перед которыми стоит знак "-", называются отрицательными .
Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z .
Рациональные числа
Это конечные дроби и бесконечные периодические дроби. Например,
Множество рациональных чисел обозначается Q . Все целые числа являются рациональными.
Иррациональные числа
Бесконечная непериодическая дробь называется иррациональным числом. Например:
Множество иррациональных чисел обозначается J .
Действительные числа
Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел.
Действительные числа обозначаются символом R .
Округление чисел
Рассмотрим число 8,759123... . Округлить до целой части означает записать лишь ту часть числа, которая находится до запятой. Округлить до десятых означает записать целую часть и после запятой одну цифру; округлить до сотых - после запятой две цифры; до тысячных - три цифры и т.д.
Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0, то получится ряд положительных целых чисел :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Целые отрицательные числа
Рассмотрим небольшой пример. На рисунке слева изображён термометр, который показывает температуру 7 °C тепла. Если температура понизится на 4 °C, то термометр будет показывать 3 °C тепла. Уменьшению температуры соответствует действие вычитания:
Примечание: все градусы пишутся с буквой C (Цельсия), знак градуса отделяется от числа пробелом. Например, 7 °C.
Если температура понизится на 7 °C, то термометр будет показывать 0 °C. Уменьшению температуры соответствует действие вычитания:
Если же температура понизится на 8 °C, то термометр покажет -1 °C (1 °C мороза). Но результат вычитания 7 - 8 нельзя записать с помощью натуральных чисел и нуля.
Проиллюстрируем вычитание на ряде целых положительных чисел:
1) От числа 7 отсчитаем влево 4 числа и получим 3:
2) От числа 7 отсчитаем влево 7 чисел и получим 0:
Отсчитать в ряду положительных целых чисел от числа 7 влево 8 чисел нельзя. Чтобы действие 7 - 8 стало выполнимым, расширим ряд положительных целых чисел. Для этого влево от нуля запишем (справа налево) по порядку все натуральные числа, добавляя к каждому из них знак - , показывающий, что это число стоит слева от нуля.
Записи -1, -2, -3, ... читают минус 1 , минус 2 , минус 3 и т. д.:
5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Полученный ряд чисел называют рядом целых чисел . Точки слева и справа в этой записи означают, что ряд можно продолжать неограниченно вправо и влево.
Справа от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называют натуральными или целыми положительными (кратко - положительными ).
Слева от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называют целыми отрицательными (кратко - отрицательными ).
Число 0 целое, но не является ни положительным, ни отрицательным числом. Оно разделяет положительные и отрицательные числа.
Следовательно, ряд целых чисел состоит из целых отрицательных чисел, нуля и целых положительных чисел .
Сравнение целых чисел
Сравнить два целых числа - значит, узнать, какое из них больше, какое меньше, или определить, что числа равны.
Сравнивать целые числа можно с помощью ряда целых чисел, так как числа в нём расположены от меньшего к большему, если двигаться по ряду слева направо. Поэтому в ряду целых чисел можно заменить запятые на знак меньше:
5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...
Следовательно, из двух целых чисел больше то число, которое в ряду стоит правее, и меньше то, которое стоит левее , значит:
1) Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа:
1 > 0; 15 > -16
2) Любое отрицательное число меньше нуля:
7 < 0; -357 < 0
3) Из двух отрицательных чисел больше то, которое в ряду целых чисел стоит правее.
Что значит целое число
Итак, рассмотрим, какие числа называют целыми.
Таким образом, целыми будут обозначаться такие числа: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$ и т.д.
Множество натуральных чисел есть подмножеством множества целых чисел, т.е. любое натуральное будет являться целым числом, но не любое целое является натуральным числом.
Целые положительные и целые отрицательные числа
Определение 2
плюс .
Числа $3, 78, 569, 10450$ – целые положительные числа.
Определение 3
являются целые числа со знаком минус .
Числа $−3, −78, −569, -10450$ – целые отрицательные числа.
Замечание 1
Число ноль не относится ни к целым положительным, ни к целым отрицательным числам.
Целыми положительными числами являются целые числа, большие нуля.
Целыми отрицательными числами являются целые числа, меньшие нуля.
Множество натуральных целых чисел являет собой множество всех целых положительных чисел, а множество всех противоположных натуральным числам являет собой множество всех целых отрицательных чисел.
Целые неположительные и целые неотрицательные числа
Все целые положительные числа и число нуль называются целыми неотрицательными числами .
Целыми неположительными числами являются все целые отрицательные числа и число $0$.
Замечание 2
Таким образом, целым неотрицательным числом являются целые числа, большие нуля или равные нулю, а целым неположительным числом – целые числа, меньшие нуля или равные нулю.
Например, целые неположительные числа: $−32, −123, 0, −5$, а целые неотрицательные числа: $54, 123, 0, 856 342.$
Описание изменения величин при помощи целых чисел
Целые числа применяются для описания изменения числа каких-либо предметов.
Рассмотрим примеры.
Пример 1
Пусть в магазине продается какое-то число наименований товара. Когда в магазин поступит $520$ наименований товаров, то число наименований товара в магазине увеличится, а число $520$ показывает изменение числа в положительную сторону. Когда в магазине продастся $50$ наименований товара, то число наименований товара в магазине уменьшится, а число $50$ будет выражать изменение числа в отрицательную сторону. Если в магазин не будут ни привозить, ни продавать товар, то число товара будет оставаться неизменным (т.е. можно говорить о нулевом изменении числа).
В приведенном примере изменение числа товара описывается с помощью целых чисел $520$, $−50$ и $0$ соответственно. Положительное значение целого числа $520$ указывает на изменение числа в положительную сторону. Отрицательное значение целого числа $−50$ указывает на изменение числа в отрицательную сторону. Целое число $0$ указывает на неизменность числа.
Целые числа удобно использовать, т.к. не нужно явное указание на увеличение числа или уменьшение, – знак целого числа указывает на направление изменения, а значение – на количественное изменение.
С помощью целых чисел можно выразить не только изменение количества, но и изменение любой величины.
Рассмотрим пример изменения стоимости товара.
Пример 2
Повышение стоимости, например, на $20$ рублей выражается с помощью положительного целого числа $20$. Понижение стоимости, например, на $5$ рублей описывается с помощью отрицательного целого числа $−5$. Если изменений стоимости нет, то такое изменение определяется с помощью целого числа $0$.
Отдельно рассмотрим значение отрицательных целых чисел как размера долга.
Пример 3
Например, у какого-либо человека есть $5 000$ рублей. Тогда с помощью целого положительного числа $5 000$ можно показать количество рублей, которые у него есть. Человек должен оплатить квартплату в размере $7 000$ рублей, но у него таких денег нет, в таком случае подобная ситуация описывается отрицательным целым числом $−7 000$. В таком случае человек имеет $−7 000$ рублей, где «–» указывает на долг, а число $7 000$ показывает количество долга.
Информация этой статьи формирует общее представление о целых числах . Сначала дано определение целых чисел и приведены примеры. Далее рассмотрены целые числа на числовой прямой, откуда становится видно, какие числа называются целыми положительными числами, а какие – целыми отрицательными. После этого показано, как при помощи целых чисел описываются изменения величин, и рассмотрены целые отрицательные числа в смысле задолженности.
Навигация по странице.
Целые числа – определение и примеры
Определение.
Целые числа – это натуральные числа, число нуль, а также числа, противоположные натуральным.
Определение целых чисел утверждает, что любое из чисел 1 , 2 , 3 , …, число 0 , а также любое из чисел −1 , −2 , −3 , … является целым. Теперь мы легко можем привести примеры целых чисел . Например, число 38 – целое, число 70 040 – тоже целое, нуль – целое число (напомним, что нуль НЕ является натуральным числом, нуль – целое число), числа −999 , −1 , −8 934 832 – также являются примерами целых чисел.
Все целые числа удобно представлять как последовательность целых чисел, которая имеет следующий вид: 0, ±1, ±2, ±3, … Последовательность целых чисел можно записать и так: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
Из определения целых чисел следует, что множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел. Поэтому, любое натуральное число является целым, но не любое целое число является натуральным.
Целые числа на координатной прямой
Определение.
Целые положительные числа – это целые числа, которые больше нуля.
Определение.
Целые отрицательные числа – это целые числа, которые меньше нуля.
Целые положительные и отрицательные числа можно также определить по их положению на координатной прямой. На горизонтальной координатной прямой точки, координатами которых являются целые положительные числа, лежат правее начала отсчета. В свою очередь точки с целыми отрицательными координатами располагаются левее точки O .
Понятно, что множество всех целых положительных чисел представляет собой множество натуральных чисел. В свою очередь множество всех целых отрицательных чисел – это множество всех чисел, противоположных натуральным числам.
Отдельно обратим Ваше внимание на то, что любое натуральное число мы можем смело назвать целым, а любое целое число мы НЕ можем назвать натуральным. Натуральным мы можем назвать лишь любое целое положительное число, так как целые отрицательные числа и нуль не являются натуральными.
Целые неположительные и целые неотрицательные числа
Дадим определения целых неположительных чисел и целых неотрицательных чисел.
Определение.
Все целые положительные числа вместе с числом нуль называют целыми неотрицательными числами .
Определение.
Целые неположительные числа – это все целые отрицательные числа вместе с числом 0 .
Другими словами, целое неотрицательное число – это целое число, которое больше нуля, либо равно нулю, а целое неположительное число – это целое число, которое меньше нуля, либо равно нулю.
Примерами целых неположительных чисел являются числа −511 , −10 030 , 0 , −2 , а в качестве примеров целых неотрицательных чисел приведем числа 45 , 506 , 0 , 900 321 .
Наиболее часто термины «целые неположительные числа» и «целые неотрицательные числа» используют для краткости изложения. Например, вместо фразы «число a целое, причем a больше нуля или равно нулю» можно сказать «a – целое неотрицательное число».
Описание изменения величин при помощи целых чисел
Пришло время поговорить о том, для чего вообще нужны целые числа.
Основное предназначение целых чисел заключается в том, что с их помощью удобно описывать изменение количества каких-либо предметов. Разберемся с этим на примерах.
Пусть на складе находится некоторое количество деталей. Если на склад привезут еще, к примеру, 400 деталей, то количество деталей на складе увеличится, а число 400 выражает это изменение количества в положительную сторону (в сторону увеличения). Если же со склада заберут, например, 100 деталей, то количество деталей на складе уменьшится, а число 100 будет выражать изменение количества в отрицательную сторону (в сторону уменьшения). На склад не будут привозить детали, и не будут увозить детали со склада, то можно говорить о неизменности количестве деталей (то есть можно будет говорить о нулевом изменении количества).
В приведенных примерах изменение количества деталей можно описать при помощи целых чисел 400 , −100 и 0 соответственно. Положительное целое число 400 показывает изменение количества в положительную сторону (увеличение). Отрицательное целое число −100 выражает изменение количества в отрицательную сторону (уменьшение). Целое число 0 показывает, что количество осталось без изменения.
Удобство использования целых чисел по сравнению с использованием натуральных чисел заключается в том, что не нужно явно указывать увеличивается количество или уменьшается, - целое число определяет изменение количественно, а знак целого числа указывает направление изменения.
Целые числа также могут выражать не только изменение количества, но и изменение какой-либо величины. Разберемся с этим на примере изменения температуры.
Повышение температуры, скажем, на 4 градуса выражается положительным целым числом 4 . Понижение температуры, например, на 12 градусов можно описать отрицательным целым числом −12 . А неизменность температуры – это ее изменение, определяемое целым числом 0 .
Отдельно нужно сказать о трактовке отрицательных целых чисел как величины долга. Например, если у нас есть 3 яблока, то целое положительное число 3 показывает количество яблок, которыми мы владеем. С другой стороны, если мы должны кому-либо отдать 5 яблок, а у нас их нет в наличии, то эту ситуацию можно описать при помощи отрицательного целого числа −5 . В этом случае мы «обладаем» −5 яблоками, знак минус указывает на долг, а число 5 определяет долг количественно.
Понимание отрицательного целого числа в качестве долга позволяет, например, обосновать правило сложения отрицательных целых чисел . Приведем пример. Если кто-то должен 2 яблока одному человеку и одно яблоко – другому, то общий долг составляет 2+1=3 яблока, поэтому −2+(−1)=−3 .
Список литературы.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
