Результаты поиска по \"трение нити\". Трение нити о цилиндрическую поверхность. Формула Эйлера Формула эйлера и коэффициент трения

Рассмотрим равновесие нити, прилегающей к неподвижному шероховатому цилиндру на дуге с углом (см. рис. 37).

Пусть к одному из концов нити приложена сила Р. Какую наименьшую силу Q надо приложить к другому концу нити, что бы она оставалась в покое?

Выделим элемент нити длиной , обозначим действующие на него силы (см. рис. 37).

Запишем проекции на касательную и нормаль уравнения равновесия сил, действующих на элемент:

Здесь T и (T+dT) - силы натяжения нити на правом и левом концах элемента, соответственно,

dN - сила нормального давления, приложенная со стороны цилиндра к элементу нити,

Сила трения элемента нити о поверхность цилиндра.

Отбросив величины высших порядков малости и учитывая малость угла (в этом случае ), решим систему уравнений относительно dT:

Разделив переменные и взяв определенные интегралы от левой и правой частей, получим:

(20)

Выражение (20) называется формулой Эйлера.

Заметим, что величина наименьшей удерживающей силы Q не зависит от радиуса цилиндра.

Как и в задаче о покое груза на наклонной плоскости в рассматриваемой задаче можно определить наибольшее значение силы, при котором нить на цилиндрической поверхности остается в покое (для этого следует изменить направление силы трения на противоположное). Выполнив действия, аналогичные приведенным выше, получим

Тогда нить, прилегающая к шероховатой цилиндрической поверхности при действии на ее конец силы , будет покоиться при любом значении .

ПРИМЕР 11. В сказке о храбром портняжке имеется эпизод, в котором он доказывает великану свое превосходство в силе. Для этого портняжка обматывает могучий дуб прочным канатом, за один конец которого берется сам, а великану предлагает тянуть за другой конец каната. В описанных условиях великан как не старался, не мог перетянуть храброго (и, конечно, сообразительного!) портняжку. Рассчитайте угол охвата дерева канатом при условии, что сила натяжения каната портняжкой в 100 раз меньше силы, прикладываемой великаном.

РЕШЕНИЕ. Из формулы (20-9.3) получим выражение для угла :

Тогда, при и =0.5 для пенькового каната и дерева, получаем , что составляет полтора оборота.

Заметим, что при этом дуб не должен быть вырван силой тяги великана.

Трение качения

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Рассмотрим круглый цилиндр радиуса R и веса P, лежащий на горизонтальной и шероховатой поверхности. Приложим к оси цилиндра горизонтальную силу T, не достаточную для начала скольжения цилиндра по поверхности (). Реакция от взаимодействия цилиндра с поверхностью должна быть приложена в точке их соприкосновения А; ее составляющие - сила нормального давления и сила трения (см. рис. 38).

При такой силовой схеме цилиндр должен катится при любой, сколь угодно малой, силе Т, что противоречит нашему опыту. Отмеченное противоречие возникло вследствие использования моделей в виде абсолютно твердых тел, соприкасающихся между собой в одной точке. Фактически из-за деформации соприкосновение происходит вдоль некоторой площадки, смещенной в сторону качения.

Учтем это обстоятельство, перенеся в ту же сторону на некоторое расстояние k точку приложения реакции поверхности (точка В на рис. 39.а).

Проведенные эксперименты показывают, что с ростом величины силы Т величина k возрастает до некоторого предельного значения, называемого коэффициентом трения качения , после чего качение начинается. Ниже приведены значения этого коэффициента (в сантиметрах) для некоторых материалов:

Дерево по дереву 0,05 – 0,08

Сталь мягкая по стали

(колесо по рельсу) 0,005

Сталь закаленная по стали

(шариковый подшипник) 0,001

Иногда удобно осуществить учет трения качения добавлением момента пары сил, называемого моментом трения качения и равным, соответственно

Очевидно, что силовые схемы, изображенные на рисунках 39.а и 39.б эквивалентны.

Сравнение силовых схем рисунков 38 и 39.б показывает, что учет дополнительного фактора (деформация взаимодействующих при качении поверхностей) осуществлен нами добавлением момента трения качения к используемой ранее модели взаимодействия абсолютно твердых тел.

ПРИМЕР 12. На горизонтальной плоскости лежит каток радиуса R=5 cм и веса Р. Коэффициент трения скольжения катка о плоскость = 0.2 , коэффициент трения качения к = 0.005 cм. Определить наименьшую горизонтальную силу Т, перпендикулярную оси катка, при которой каток начинает движение.

На рисунке изображен каток и схема действующих на него сил. Запишем уравнения равновесия:

Дополнив систему выражением для предельного момента трения качения ,

найдем значение

Дополнив систему выражением для предельной силы трения ,

3.4.1 Равновесие твердого тела при наличии трения скольжения

Трением скольжения называется сопротивление, возникающее при относительном скольжении двух соприкасающихся тел.

Величина силы трения скольжения пропорциональна нормальному давлению одного из соприкасающихся тел на другое:

Реакция шероховатой поверхности отклонена от нормали на некоторый угол φ (рис. 3.7). Наибольший угол , который полная реакция шероховатой связи образует с нормалью к поверхности, называется углом трения.

Рис. 3.7

Реакция слагается из двух составляющих: нормальной реакции и перпендикулярной ей силы трения , которая направлена противоположно возможному перемещению тела. Если твердое тело на шероховатой поверхности находится в покое, то в этом случае трение называется статическим. Максимальная величина силы статического трения определяется равенством

где статический коэффициент трения.

Этот коэффициент обычно больше коэффициента трения при движении.

Из рис. 3.7 видно, что угол трения равен значению

. (3.26)

Равенство (3.26) выражает связь между углом трения и коэффициентом трения.

Методика решения задач статики при наличии трения остается такой же, как и в случае отсутствия трения, т. е. сводится к составлению и решению уравнений равновесия. При этом реакцию шероховатой поверхности следует представить двумя составляющими - нормальной реакцией и силой трения.

Следует иметь в виду, что в таких задачах расчет ведется обычно на максимальную величину силы трения, которая определяется формулой (3.25).

Пример 3.6:

Груз А веса Q лежит на шероховатой плоскости, наклоненной к

горизонту под углом α, и удерживается нитью, намотанной на ступень блока радиуса R. При каком весе Р груза В система будет находиться в равновесии, если коэффициент трения скольжения груза о плоскость равен f , а радиус меньшей ступени блока (рис. 3.8).

Рассмотрим равновесие груза В, на который действует сила тяжести и реакция нити , причем численно (рис. 3.8 , а). На груз А действуют сила тяжести , реакция нити, нормальная реакция наклонной плоскости и сила трения . Так как радиус r меньшей ступени блока в два раза меньше большей ступени, то в положении равновесия , или

Рассмотрим случай, при котором существует равновесие груза А, но так, что увеличение силы тяжести P груза В вызовет перемещение груза А вверх (рис. 3.8, б). В этом случае сила трения направлена вниз по наклонной плоскости, причем . Выберем оси х и у, указанные на рисунке, и составим два уравнения равновесия системы сходящихся сил на плоскости:

(3.27)

Получим, что , тогда сила трения .

Подставим в равенство (3.27) значения и , найдем величину Р :

Теперь рассмотрим случай, когда существует равновесие груза А, но так, что уменьшение силы тяжести Р груза В вызовет перемещение груза А вниз (рис. 3.8, в). Тогда сила трения будет направлена вверх по наклонной плоскости. Так как значение N не изменится, то достаточно составить одно уравнение в проекции на ось х:

. (3.29)

Подставив в равенство (3.29) значения и , получим, что

Таким образом, равновесие данной системы будет возможно при условии

3.4.2. Равновесие твердого тела при наличии трения качения

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Представление о природе трения качения можно получить, выходя за пределы статики твердого тела. Рассмотрим цилиндрический каток радиуса R и веса Р , опирающийся на горизонтальную плоскость. Приложим к оси катка силу , меньшую силы трения (рис. 3.9, а). Тогда сила трения , численно равная , препятствует скольжению цилиндра по плоскости. Если нормальная реакция приложена в точке А, то она уравновесит силу , а силы и образуют пару, вызывающую качение цилиндра даже при малом значении силы S.

В действительности, вследствие деформаций тел касание их происходит вдоль некоторой площади АВ (рис. 3.9, б). При действии силы интенсивность давления у точки А убывает, а у точки В возрастает. В результате нормальная реакция смещается в сторону действия силы на величину k , которая называется коэффициентом трения качения. Этот коэффициент измеряется в единицах длины.

В идеальном положении равновесия катка к нему будут приложены две взаимно уравновешивающиеся пары: одна пара сил с моментом и вторая пара сил , удерживающая каток в равновесии. Момент пары, называемый моментом трения качения, определяется формулой

Из этого равенства следует, что для того, чтобы имело место чистое качение (без скольжения), необходимо, чтобы сила трения качения была меньше максимальной силы трения скольжения: , где f - коэффициент трения скольжения. Таким образом, чистое качение возможно при условии .

Следует различать направление смещения точки приложения нормальной реакции ведущего и ведомого колеса. Для ведущего колеса деформационный валик, вызывающий смещение точки приложения нормальной реакции плоскости, находится слева от его центра С, если колесо будет двигаться вправо. Поэтому для этого колеса направление силы трения совпадает с направлением его движения (рис. 3.10, а). В ведомом колесе деформационный валик смещен относительно центра С в направлении движения. Следовательно, сила трения в этом случае направлена в сторону, противоположную направлению движения центра колеса.

Пример 3.7:

Цилиндр веса Р =10 Н и радиуса R = 0,1 м находится на шероховатой плоскости, наклоненной под углом α = 30˚ к горизонту. К оси цилиндра привязана нить, перекинутая через блок и несущая на другом конце груз В. При каком весе Q груза В цилиндр не покатится, если коэффициент трения качения равен k = 0,01 м (рис. 3.11, а)?

Рассмотрим равновесие цилиндра в двух случаях. Если величина силы Q имеет наименьшее значение, то возможно движение цилиндра вниз по наклонной плоскости (рис. 3.11, б). К цилиндру приложены вес цилиндра и натяжение нити . В этом случае нормальная реакция наклонной плоскости будет смещена на расстояние k влево от перпендикуляра, опущенного из центра цилиндра на наклонную плоскость. Сила трения направлена вдоль наклонной плоскости противоположно возможному движению центра цилиндра.

Рис. 3.11

Для определения значения достаточно составить уравнение равновесия относительно точки С . При вычислении момента силы относительно этой точки силу разложим на составляющие: составляющая перпендикулярна наклонной плоскости, а составляющая параллельна этой плоскости. Момент силы и относительно точки С равны нулю, т. к. они приложены в этой точке:

Откуда

Во втором случае, когда сила Q достигает максимального значения, возможно перемещение центра цилиндра вверх по наклонной плоскости (рис. 3.11, в). Тогда силы и будут направлены аналогично первому случаю. Реакция , наклонной плоскости будет приложена в точке и смещена на расстояние k вправо по наклонной плоскости. Сила трения направлена противоположно возможному движению центра цилиндра. Составим уравнение моментов относительно точки .

(56) Авторское свидетельство СССРМ 1080073, кл. 6 01 й 19/02, 1983.Авторское свидетельство СССРМ 1376009, кл. 6 01 й 19/02, 1987.Авторское свидетельства СССРВ 1089488, кл. 6 01 й 19/02, 1983,прототип. ЭФ дованию. Целью точности о спосои неподза счет ствующекачестве ствия опела, при ние груза им,щенИзобретение относится к определениюфрикционных свойств материалов, в частности нитевидных, применительно к машинам и механизмам, среди элементов которых имеются гибкие нити или тросы, которые обкатываются вокруг блоков или других направляющих.Известны приборы для определения коэффициента трения нити или каната, которые относительно сложны и неточны, так как в них не учитываются силы трения в отдельных.узлах самого прибора, Кроме того, в этих приборах измеряют силы натяжения в набегающей и обегающей ветвях исследуемой нити и каната, по которым определяют коэффициент трения.Известно также устройство для опреде, ления коэффициента трения нити, содержащее корпус, цилиндрическую направляющ ю нити, узел нагружения ее и узел измерен силы трения. уия ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТПО ИЗОБРЕТЕНИЯМ И ОТКРЫТИЯМПРИ ГКНТ СССР ОПЙСАНИ(54) СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЦИЕНТА ТРЕНИЯ ГИБКОЙ НИТИ(57) Изобретение относится к исслефрикционных свойств материаловизобретения является повышениеи снижение трудоемкости, Согласнбу относительное движение нитивижного контртела осуществляютпадения груза из положения, соответго недеформированной пружине, а впараметра фрикционного взаимодейределяют угол охвата нитью контрткотором отсутствует обратное движевверх, 1 ил. Однако в данном устройстве для определения коэффициента трения используются величины силы натяжения ветвей. Поскольку в практике обычно коэффициент трения необходимо определять для дальнейших расчетов динамики нити, то результат получается более точным, если этот коэффициент определять по динамическим свойствам, а не по измеряемым силам натяжения.Цель изобретения - повышение точности и снижение трудоемкости. -Поставленная цель достигается тем, что согласно способу, заключающемуся в том, что один конец нити через пружину связывают с основанием, а на другом располагают груз, охватывают натянутой нитью контртело, приводят их в относительное движение и по параметру их фрикционного взаимодействия судят о коэффициенте трения, используют неподвижное контртело1728731 Составитель В.КалниньРедактор А,Мотыль Техред М.Моргентал Корре Кравцо Заказ 1402 Тираж Подписное ВНИИПИ Государственного комитета по изобретениям и открытиям при ГКНТ СССР 113035, Москва, Ж-ЗБ, Раушская наб 4/5 ельский комбинат "Патент", г, Ужгород, ул.Г на, 10 изводственно-из относительное движение нити и контртелаосуществляют за счет падения груза из положения, соответствующего недеформированной пружине, а в. качестве параметрафрикционного взаимодействия определяютугол охвата нитью контртела, при которомотсутствует обратное движение груза вверх.На чертеже схематически изображеноустройство для реализации предложенногоспособа,Устройство содержит неподвижныйблок 1 и нить 2, между которыми необходимо определить коэффициент трения. В кон, це нити подвешен груз 3 для натяжениянити, Пружина 4 связывает нить с рычагом5, которым можно устанавливать угол охвата а, поворачивая рычаг вокруг оси б, Положение рычага 5 фиксируется гайкой 7. Узелизмерения угла а содержит указатель 8 ипластину 9 в виде полукруга; на которойразмещена шкала. Указатель всегда направлен по оси нити, а груз 10 удерживаетсрезанную сторону полукруга вертикально.Определение коэффициента трениямежду неподвижным блоком 1 и нитью 2осуществляют следующим образом.Груз 3 поднимают до такого положения,при котором пружина 4 недеформирована,и отпускают груз из состояния покоя. Груз,пройдя определенное расстояние вниз, останавливается и вдет вверх, т. е. совершает затухающие колебания. Поворачивая рычаг вокруг оси 6, увеличивают угол а до такой величины, при которой груз, отпущенный из 5 состояния покоя, остановится в нижнем положении и движение груза вверх не последует, Измеряя угол й в радианах, определяют коэффициент трения скольжения 1 между цилиндром и нитью по формуле10 0,347аФормула изобретения Способ определения коэффициентатрения гибкой нити, заключающийся в том, 15 что один конец нити через пружину связывают с основанием, а на другом располагают груз, охватывают натянутой нитью контртело, приводят их в относительное движение и по параметру их фрикционного взаимодейст вия судят о коэффициенте трения,о т л и ч аю щ и й с я тем, что, с целью повышения точности и снижения трудоемкости, используют неподвижное контртело, относительное движение нити и контртела 25 осуществляют за счет падения груза из положения, соответствующего недеформированной пружине, а в качестве параметра фрикционного взаимодействия определяют угол охвата нитью контртела, при котором 30 отсутствует обратное движение груза вверх.

Заявка

4818405, 24.04.1990

РИЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. А. Я. ПЕЛЬШЕ

ВИБА ЯНИС АЛФРЕДОВИЧ, ГРАСМАНИС БРУНО КАРЛОВИЧ, КИЩЕНКО АНТОН АНТОНОВИЧ, СТРАЗДС ГУНТИС ЭЛМАРОВИЧ

МПК / Метки

Код ссылки

Способ определения коэффициента трения гибкой нити

Похожие патенты

Уточной нити 1 а пневматическом ткяцко.1 ста 1 кс создается зя счет направленного действия воздушного потока, выходяцсго из сопла 2. При этом уточная нить 1 приобретает трибоэлектрический заряд величиной от 2 до 60 10 - " кЬ в зависимости от вида нитей, ее строения и характера химической обработки.Величина этого заряда измеряется бесконтактно датчиком 3, работающим, например, го принципу электростатической индукции и расположшшым первым по направле 1 ппо движения нити 1. Зятем уточная нить 1 проходит Вб;шзи датчика 4, иззерлющего ток нейтрализац;1 и заряда нити 1 и работающего, например, по при щипу ионизацпи воздуха с помощью радиоактивного вещества,Сигналы с датчиков 3 и 4 поступают в согласующее устройство 5 и 6, после чего их...

Относительно осей, которые сидят на кронштейне 31, укрепленном на одном конце нитеводительного рельса 32, и натяжной шкив 33 на другом конце нитеводительного рельса 32, сидящий на оси, которая укреплена на регулируемом по отношению к рельсу кронштейне 34.Круглоременную передачу приводит в движение палец 35, укрепленный на вяжущей каретке. Палец 35 взаимодействует с поворотным рычагом 36 механизма сцепления 37 и перемещает ее вдоль одной из призматических направляющих нитеводительного рельса 32 в соответствии с заправочной шириной игольниц 38, На поворотном рычаге 36 механизма сцепления 37 имеется палец 39, поочередно взаимодействующий с одним из рычажков 40 и 41, которые свободно поворачиваются на осях, укрепленных на механизме...

В качестве датчика отрицательной обратной связи применен нитенатяжитель, подключенный к уоилителю через преобразователь.На чертеже показана схема системы регулирования скорости движения нити.Описываемая система состоит из чувствительного элемента 1, преобразователя 2, широкополосного усилителя 3, элемента сравнения 4, силового преобразователя 5, двигателя б рабочего органа 7 машины, который выравнивает скорость движенкгя нити 8 до заданной.Описываемая система бесконтактного регулирования скорости движеняя пипи в машинах текстильного производства основана на том, что при движении понти вследствие трения ее с нитенаправителем или н тенатяжителем, в,последних возиикает шумовой стационарный случайный процесс, характеризую щийся...

Ксендзов В.А., доктор технических наук, профессор Рязанского государственного агротехнологического университета им. П.А. Костычева

ТРЕНИЕ ТЯЖЕЛОЙ ГИБКОЙ НИТИ О ВЫПУКЛУЮ ПОВЕРХНОСТЬ

Рассматривается задача определения силы трения гибкой тяжелой (весомой) нити о выпуклую поверхность. Выведено дифференциальное уравнение силы трения и показано его решение в общем виде и на примере.

Ключевые слова: тяжелая гибкая нить, выпуклая поверхность, трение.

FRICTION OF THE HEAVY FLEXIBLE FILAMENT ABOUT THE CONVEX SURFACE

The problem of definition of a frictional force of a flexible heavy (powerful) filament about a convex surface is observed. The differential equation of a frictional force is inferred and its solution in a general view and on an instance is displayed.

Key words: a heavy flexible filament, a convex surface, a friction.

В статье рассмотрено трение невесомой нити о выпуклую поверхность и показана возможность применения формулы Эйлера для этого случая.

Рассмотрим трение тяжелой (весомой) гибкой нити, уравнение которой у = у(х), о выпуклую поверхность, рис.1. Совместим начало нити с осью у.

На элементарный участок нити ds будет действовать реакция поверхности dN, которая будет складываться из реакции, обусловленной натяжением элементарного невесомого участка нити и составляющей веса этого участка:

dN = T da + dG cos a = Ti da + yds cos a

где Ti - натяжение невесомого элементарного участка нити только за счет его изгиба (без

учета иных факторов), da = kds, k - кривизна участка, у - удельный вес нити, [Н/м], a - угол между касательной к элементарному участку и осью х.

Элементарная сила натяжения нити dT, в свою очередь, будет складываться из силы трения, обусловленной реакцией dN, и составляющей силы тяжести:

dT = dTi + dT2 + dT2 = f dN - dGsin a = fTi kds + f y cosads - y sin ads (i)

Учитывая аддитивность полного дифференциала, разобьем (i) на три уравнения

Так как dy = yxdx , cosa =

dT1 = fT1kds; dF2 = fycosads; dF3 =-yúnads. dx 1 dy y x

У x_ k _ _У xx_

V17^ " " 1 + (y,)2 ]]

dT1 = fT1kds = fT1k-

Проинтегрируем первое уравнение.

fTik^¡1 + (y"x)2dx; dF2 = f ydx; dF3 = -/y"xdx.

dx, откуда

где - составляющая силы Р2, не учитывающая весомость нити. Формула (2) - формула Эйлера, в которой вместо угловой координаты введена координата х. Интегрирование второго уравнения дает

Р2 = / ух. (3)

Интегрирование третьего уравнения дает

F3 = -YÍ у Xdx

Суммируя составляющие силы трения, получим Р2 = ^ + Г2 + , или

F Yx -/í У,dx .

Первое слагаемое обусловлено силами натяжения невесомой нити. При у = 0 уравнение (5) переходит в уравнение Эйлера. Второе слагаемое обусловлено силой трения нити от ее силы тяжести. Третье слагаемое - сумма касательных составляющих сил тяжести элементов нити.

Рисунок 2.

Рассмотрим пример, рассчитав силу трения тяжелой нити о четверть круга, рис. 2, у = у/ а2 - х2, 0 < х < а.

=__¡^ - х* = а

0 I 1+(уХ) 1 / г /П

Е = Р1е 1 ] = Р1е 0 = = Р1е 2 . Е2 = /^а

Ез = -г{ Ух ^ = -у\-о о "VI

Подставляя найденные значения Е в выражение (5), получим

Р2 = Ре 2 -Га(1 - /).

Нить начнет сползать с поверхности круга при Р2 = 0, то есть при радиусе круга

Р /П а >-г--ге 2

ЛИТЕРАТУРА

1. Ксендзов В. А. Трение гибкой нити о выпуклую поверхность. Вестник Рязанского государственного агротехнологического университета, №3 (7) 2010. С. 59-60.

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст . Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут . Стоимость одной статьи — 150 рублей .